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已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组实数x,y,z，使x?

2008-04-27 10:06:55m***
已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组实数x,y,z，使xOA+yOB+zOC=0(OA,OB.OC为向量)，则三个角AOB，BOC，COA中有几个锐角 ，几个钝角？ 已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组实数x,y,z，使xOA+yOB+zOC=0(OA,OB.OC为向量)，则三个角AOB，BOC，COA中有几个锐角，?

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  •   问题限制太少。这三个角可以有一个是钝角，或者两个，或者三个，不过至少一个。 角AOB+BOC+COA=360度，所以至少一个是钝角。否则如果全都小于等于90度，那么其和最多只能是270度了。 举三个例子，说明三中可能都存在。 1。三个钝角。
      如果这三个角都是120度，三个向量模都是1。那么OA+OB+OC=0。 2。AOB=60度，BOC=60度，COA=240度。三个向量模都是1。那么OB+(-)OA+(-1)OC=0。 3。AOB=150度， BOC=150度， COA=60度，三个向量模都是1。
      那么 OB+(1/根号{3})OA+)\/根号{3})OC=0 结论：不能确定。看看问题中是不是少写了什么。对实数没有什么限制吗？ 如果是正实数的话，可以推出至少两个是钝角。 设a=OA,b=OB, c=OC表示三个向量。 (xa+yb+zc)*a=x|a|^2+y|a||b|cos(AOB)+z{a||c|cos(COA)=0。
       所以cos(AOB),cos(COA)中至少一个为钝角。如果两个都是，那么已经证明了至少两个钝角。否则假设(AOB)为钝角，但COA为锐角。那么我们看 (xa+yb+zc)*c=x|a||c|cos(COA)+y|ab|c||cos(BOC)+x|z|^2=0。
      因为cos(COA)>0, 所以必须BOC为钝角，所以至少有两个钝角。 结论：至少两个钝角，但不能肯定是不是有三个钝角或者只有两个钝角。例子见前。
    2008-04-27 10:18:55
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