两道高二数学题1.已知P是椭圆(x²/4)+(y&su
2010-02-22 15:46:27橘***
1.已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的内切圆半径为1/2,则向量PF1与向量PF2的乘积为多少?
2.设抛物线y²=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,│BF│=2,则△BCF与△ACF的面积之比为多少?两道高二数学题1.已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的内切圆半径为1/2,则向量?
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设抛物线y²=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,│BF│=2,则△BCF与△ACF的面积之比为多少? 如右图 分别过点A、B作抛物线准线的垂线,垂足为D、E △BCF和△ACF是两个等高【均为点F到直线AB的距离】的三角形,所以它们的面积之比为底边长之比 即,S△BCF/S△ACF=CB/CA 而,BE⊥l,AD⊥l 所以,BE//AD 所以,CB/CA=BE/AD 而根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,得到:BE=BF=2 所以,CB/CA=2/AD 设点A(x1,y1)、B(x2,y2) 那么,AD=x1+(1/2),BE=x2+(1/2)=2 所以,CB/CA=BE/AD=[x2+(1/2)]/[x1+(1/2)] 亦即,CA/CB=[x1+(1/2)]/[x2+(1/2)] 所以,(CA/CB)+1=[x1+(1/2)]/[x2+(1/2)]+1 =[x1+(1/2)+x2+(1/2)]/[x2+(1/2)] =(x1+x2+1)/[x2+(1/2)] =(x1+x2+1)/2 所以,CA/CB=[(x1+x2+1)/2]-1 =(x1+x2)/2-(1/2)……………………………………………(1) 且,点B的横坐标为Xb=2-(1/2)=3/2 点B在抛物线y^2=2x上,所以:y^2=2*(3/2)=3 所以,y=-√3【不妨设为负值】 即,点B(3/2,-√3) 已知点M(√3,0) 那么,直线A(M)B的斜率k=√3/[√3-(3/2)]=2√3/(2√3-3) 所以,1/k^2=(2√3-3)^2/12=(12+9-12√3)/12=(21-12√3)/12 设AB所在直线方程为y=k(x-√3) 那么,联立直线与抛物线方程得到:[k(x-√3)]^2=2x ===> k^2(x^2-2√3x+3)=2x ===> k^2x^2-2(√3k^2+1)x+3k^2=0 所以,x1+x2=2(√3k^2+1)/k^2 所以,(x1+x2)/2=(√3k^2+1)/k^2=√3+(1/k^2) =√3+[(21-12√3)/12]=√3+[(7/4)-√3] =7/4 代入(1)得到:CA/CB=(x1+x2)/2-(1/2)=(7/4)-(1/2)=5/4 即,S△BCF/S△ACF=4/5。
2010-02-23 02:16:18
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