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请教一道初三数学题（与圆有关的多解问题）已知等边三角形ABC内接

2009-06-15 22:12:18旧***
已知等边三角形ABC内接于圆O，D为直线AB上一点，若AB=√3，S△BCD=√3/4，则OD的长为_____。 【请回答者尽量说明过程，多谢】请教一道初三数学题（与圆有关的多解问题）已知等边三角形ABC内接于圆O，D为直线AB上一点，若AB=√3，S△BCD=√3/4，则OD的长为_____。【请回答?

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  •   已知等边三角形ABC内接于圆O，D为直线AB上一点，若AB=√3，S△BCD=√3/4，则OD的长为_____。
       等边△ABC的边长AB=√3，则△ABC的高h=√3*(√3/2)=3/2 亦即，点C到直线AB的距离为3/2 现，D位于直线AB上，且△BCD的面积S=√3/4 即，S△BCD=(1/2)BD*h=(1/2)*BD*(3/2)=3BD/4=√3/4 所以：BD=√3/3 则： ① 当D位于AB之间时，即图中点D1 此时，BD1=√3/3 那么，AD1=AB-BD1=√3-(√3/3)=2√3/3 连接OA、OD1 因为O为等边△ABC的外接圆圆心，则OA为∠CAB的平分线 所以，∠OAD1=60°/2=30° 且，OA=OB=OC=√3*(√3/2)*(2/3)=1 所以，在△OAD1中，OA=1、AD1=2√3/3、∠OAD1=30° 根据余弦定理得到：OD1^2=OA^2+AD1^2-2*OA*AD1*cos∠OAD1 =1+(2√3/3)^2-2*1*(2√3/3)*(√3/2) =1+(4/3)-2=1/3 所以：OD1=√3/3 ② 当D位于AB延长线上时，即图中点D2 此时，BD2=√3/3 那么，AD2=AB+BD2=√3+(√3/3)=4√3/3 连接OA、OD2 同上，OA=1，∠OAD2=30° 所以，在△OAD2中，OA=1、AD2=4√3/3、∠OAD2=30° 根据余弦定理得到：OD2^2=OA^2+AD2^2-2*OA*AD2*cos∠OAD2 =1+(4√3/3)^2-2*1*(4√3/3)*(√3/2) =1+(16/3)-4=7/3 所以：OD2=√21/3。
    2009-06-15 22:40:24
  • 太复杂了，题中没有说D在AB延长线上，当然做也可以，但有画蛇添足之感觉。 解： 作AB上的高AM（过O）， AB=√3，则CM=3/2，OM=1/2（O是等边三角形重心） CM是△BCD边CD上的高，从S△BCD=√3/4， 有（1/2）CD*CM=√3/4，得CD=√3/3， 所以DM=√3/2-√3/3=√3/6， 在直角△OMD中，用勾股定理可求得OD=√3/3。 若D在AB延长线上，则MD=√3/2+3/3==5√3/6， 用勾股定理可求得OD=√（21）/3
    2009-06-16 19:04:35
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