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矩阵正定的问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B是m×n实矩阵，B′

2007-01-07 21:53:09笨***
设A为m阶实对称矩阵且正定，B是m×n实矩阵，B′为B 的转置矩阵，试证：B′A B为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）＝n矩阵正定的问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B是m×n实矩阵，B′为B的转置矩阵，试证：B′AB为正定矩阵的充分必要条件是秩（B）＝n：充分性。 秩（B）＝?

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  • 充分性。 秩（B）＝n，则对于任意的非零向量x，Bx≠0。所以x'B'ABx＝（Bx）A（Bx）＝y'Ay，其中y＝Bx。则y≠0。因为A对称正定，所以y'Ay>0，从而x'B'ABx＝y'Ay>0，所以B′A B为正定矩阵。 必要性。 反证法。 假设秩（B）≠n，则Bx＝0有非零解，设x0是Bx＝0的一个非零解。则对于非零向量x0，x0'B'ABx0＝（Bx0）A（Bx0）＝0，所以B′A B不是正定矩阵，与已知矛盾。
    2007-01-07 23:00:11
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