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设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证?

2010-02-25 21:34:31若***
设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证明你的结论设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证明你的结论：设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证明你的结论 f?

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  •   设函数f(x)=(x+1/x)^2(1)判断f(x)的单调性并证明你的结论 f(x)=(x+1/x)^2=x^2+(1/x^2)+2 定义域为x≠0 且，f(-x)=(-x-1/x)^2=(x+1/x)^2=f(x) 所以，f(x)为偶函数 所以，先讨论当x＞0时的情况 f(x)=x^2+(1/x^2)+2≥2√[x^2*(1/x^2)]+2=4 当且仅当x^2=1/x^2，即x=1时取等号 即，函数f(x)在x＞0时，有最小值f(1)=4 而当x→+∞时，x^2→+∞，那么f(x)→+∞ 当x→+0时，1/x^2→+∞，那么f(x)→+∞ 所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增 证明： 设1＜x1＜x2，则： f(x2)-f(x1)=(x2+1/x2)^2-(x1+1/x1)^2 =[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2+1/x2)-(x1+1/x1)] =[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2-x1)+(1/x2-1/x1)] =[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2-x1)-(x2-x1)/(x1x2)] =[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]*[(x2-x1)*(x1x2-1)/(x1x2)] 因为x2＞x1＞1 所以，[(x2+1/x2)+(x1+1/x1)]＞0 (x2-x1)＞0 x1x2-1＞0 所以：f(x2)-f(x1)＞0 即，f(x2)＞f(x1) 所以，当x＞1时，f(x)为增函数 【余下证明0＜x＜1上略】 又因为f(x)为偶函数，它就关于y轴对称 所以就有： 在(-∞,-1)上，f(x)单调递减；在(-1,0)上，f(x)单调递增； 在(0,1)上，f(x)单调递减，在(1,+∞)上，f(x)单调递增。
      
    2010-02-25 21:56:25
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