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高考数学已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx

2011-06-30 19:06:35只***
已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx． (1)求函数f(x)的最大值； (2)设0＜a＜b，证明： 0＜g(a)＋g(b)－2g(（a+b)/2)＜(b－a)ln2． 如何使用泰勒定理予以证明？ 高考数学已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(（a+b?

最佳回答

  •   只答第二题， 方法一：化为一元函数求单调性，在用极限法则得到得到证明。 不详述。 方法二：利用泰勒展开。
       首先，由函数g(x)的凸性得到原式＞0 然后，设(b+a)/2=x、(b-a)/2=y、y/x=t 只需证明： (x-y)ln(x-y)+（x+y)ln(x+y)-2xlnx＜2yln2 (x-y)lnx+(x-y)ln(1-t)+(x+y)lnx+(x-y)ln(1+t)-2xlnx ＜2ylny (1-t)ln(1-t)+(1+t)ln(1+t)＜2tln2 利用ln(1+x)泰勒展开,并化简,约去2t -Σt^(2k-1)/(2k)+tΣt^(2k-1)/(2k-1) ＜ln2=Σ[1/(2k-1)-1/(2k)] Σt^(2k-1)*[1/(2k-1)-1/(2k)] ＜Σ[1/(2k-1)-1/(2k)] 由t＜1，最后一个不等式显然成立，所以，原不等式成立。
    2011-07-02 12:01:10
  • （1）、定义域为：1+x>0,则x>-1, f'(x)＝1/(1＋x)－1 , 当-10, 当x=0时，f'(x)=0 当x>0时，f'(x)<0, 故，f(x)先升后降，在x=0时，有最大值 f(x)max=f(0)=ln1-0=0
    2011-06-30 19:28:57
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