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求P最值已知实数x、y满足：x-3√(x+1)＝3√(y+2)-百科知识人

2013-03-23 13:11:02s***
已知实数x、y满足：x-3√(x+1)＝3√(y+2)-y. 求P＝x+y的最值。求P最值已知实数x、y满足：x-3√(x+1)＝3√(y+2)-y.求P＝x+y的最值。：设m＝√(x+1)，n＝√(y+2)，则 x＝m^2-1，y＝n^2-?

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  •   设m＝√(x+1)，n＝√(y+2)，则 x＝m^2-1，y＝n^2-2， 条件式化为： m^2+n^2-3＝3(m+n)（m、n≥0）， →(m-3/2)^2+(n-3/2)^2＝15/2……① 而P＝x+y ＝m^2+n^2-3 ＝3(m+n)……②。
       式①表示(3/2，3/2)为圆心， √(15/2)为半径的圆在第一象限(含坐标轴)的部分； 式②表示斜率为-1的直线。
       结合图形，易知P的最大值为：9+3√15， 此时直线和圆相切于点((3+√15)/2，(3+√15)/2)， 即(x,y)＝((10+3√15)/2，(8+3√15)/2)； P最小值为：(9+3√21)/2， 此时直线过圆与坐标轴交点为 ((3+√21)/2，0)，(0，(3+√21)/2)， 即(x,y)＝((13+√21)/2，-2)， 或(x,y)＝(-2，(13+3√21)/2)。
    2013-03-23 19:42:53
  • 第一个回答者可获得3分，若被选为满意答案，还可获得悬赏分和10分的系统奖励设√(x+1)=m≥0,则x=m^2-1; √(y+2)=n≥0,则y=n^2-2.已知条件变为(m-1.5)^2+(n-1.5)=7.5(m≥0,y≥0)。它在mOn直角坐标系z中表示以C(1.5,1.5)为圆心，R=√7.5为半径的圆(如下图所示的优弧).直线OC的方程为m=n,它与圆交于原远点A，圆与x轴交于近点B。把m=n代入圆的方程，可得 m=n=(3+√15)/2,而在圆的方程中,令n=0,可得n=(3-√21)/2. ∵ x+y=√(m^2+n^2-3). (x+y)^2=m^2+n^2-3的最大值=|AO|=(√2·m)^2.最小值=|BO|=|n|. ∴ x+y的最大值为=√2(3+√15)/2;最小值为(√21-3)/2.
    2013-03-23 16:20:52
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