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不等式已知有两个正数，ab满足a+b=1求（a+`1/a)(b+

2007-08-14 19:57:13奈***
已知有两个正数，ab满足a+b=1 求（a+`1/a)(b+1/b)的最小值不等式已知有两个正数，ab满足a+b=1求（a+`1/a)(b+1/b)的最小值：(a+1/a)(b+1/b) =ab+1/(ab)+a/b+b/a 由均值?

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  • (a+1/a)(b+1/b) =ab+1/(ab)+a/b+b/a 由均值不等式：a/b+b/a>=2√(a/b*b/a)=2 因为ab=1/(ab)>=4 由“对勾（√）函数”y=x+1/x的性质：在（0，1）内递减，在（1，+）内递增。因此ab+1/(ab)在ab=4>1时，有最小值1/4+4=17/4 所以[ab+1/(ab)]+(a/b+b/a)>=17/4+2=25/4. 因此在a+b=1的条件下(a+1/a)(b+1/b)有最小值25/4.
    2007-08-14 20:47:27
  • a+b=1 (a+1/a)(b+1/b)=ab+a/b+b/a+1/ab=(a²b²+a²+b²+1)/ab ≤(2ab+a²+b²+1)/[(a+b)/2]=2[(a+b)²+1]/(a+b)=4 最小值为4。
    2007-08-14 20:07:57
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