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反函数题已知a>1.则函数f(x)=log(a)x的图像与

2007-10-17 12:36:53石***
已知a>1.则函数f(x)=log(a)x的图像与其反函数的图像交点个数为多少 详细点哦,谢谢了!!!!!!!反函数题已知a1.则函数f(x)=log(a)x的图像与其反函数的图像交点个数为多少详细点哦,谢谢了!!!!!!!：y = a^x 是 y = log(?

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  •   y = a^x 是 y = log(a)x 的反函数，它们的图象关于直线 y = x 对称 当 a > 1 时，都是增函数，且前者下凸，后者上凸，所以最多2个交点 我们先求使二者有唯一交点的 a 的值: 当它们有唯一的交点时，必定是它们与直线 y = x 的公共切点 设曲线 y = a^x 与直线 y = x 相切于点(m，m)（此时，曲线 y = log(a)x 同时也与直线相切于同一点） 一方面，曲线 y = a^x 过点（m, m）， 故有 a^m = m 　。
      。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（１） 两边取自然对数，得 m * lna = lnm 所以 lna = (lnm)/m 　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（２） 另一方面，函数 y = a^x 在 x = m 处的导数等于直线的斜率１ 即 a^m * lna = 1 　。
      。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（３） （１）和（２）都代入（３），得 m * (lnm)/m = 1 得　lnm = 1 所以　m = e 进而　lna = (lnm)/m = 1/e 所以　a = e^(1/e) 是使得两个函数的图象有唯一交点的a值。
       根据指数（或对数）函数的图象特征，可知： 当 　　a = e^(1/e) 时，二者有唯一交点(e,e)（蓝色）； 当 　　a > e^(1/e) 时，二者没有交点（绿色）； 当 1 < a < e^(1/e) 时，二者有两个交点（红色）；。
      
    2007-10-17 17:57:30
  • 同意嘎达梅林大师的解答
    2007-10-17 17:31:38
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