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还是关于区间内可导与导数连续前提某函数在a,b-内可导.上次问

2010-02-19 20:42:31c***
前提某函数在[a,b]内可导.上次问了一次了,想了想还是没有想通:我知道可导和导函数连续是两回事,可导是指导数在某一区间处处存在,问题就在这里,如果这个导函数不连续,难道这个导函数的是一系列离散的点?如果是一系列离散的点,它又怎么能保证处处存在呢,毕竟导数存在的话,它的左右导数都存在而且相等啊?我就想知道在不连续的情况下,它究竟是如何保证处处导数存在的?还是关于区间内可导与导数连续前提某函数在[a,b]内可导.上次问了一次了,想了想还是没有想通:我知道可导和导函数连续是两回事,可导是指导数在某一区间处处存在,问?

最佳回答

  •   这个问题你是问过了，楼上【尚理】老师的例子，也给你讲过多次了，但是你对这个例子没有真正理解。 我仔细阅读了你的提问，发现你对【左右导数都存在而且相等】的理解有偏差，你把他与另一个概念【导数的左极限和右极限都存在而且相等】混淆起来了。 问题的根本是：【左导数】与【导数的左极限】不是一回事，【右导数】与【导数的右极限】不是一回事。
       如果【某点处导数的左极限和右极限都存在而且相等】，那么当然有结论【导函数在该点连续】。 但是【某点处左右导数都存在而且相等】并不意味着【某点处导数的左极限和右极限都存在而且相等】。 【导数的左极限】是左极限，而且很明确是“导数的左极限”； 【左导数】确实也是一种左极限，但他却是“差商的左极限”。
       我们还是通过观察例子【f(0)=0；x≠0时，f(x)=(x^2)*sin(1/x)】来理解“左导数——差商的左极限”与“导数的左极限”之间的【本质区别】。 【左导数】lim[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim[x*sin(1/x)]=0； 【右导数】lim[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim[x*sin(1/x)]=0。
       【导数的左极限】lim[f'(x)]=lim[2x*sin(1/x)-cos(1/x)]不存在； 【导数的右极限】lim[f'(x)]=lim[2x*sin(1/x)-cos(1/x)]不存在。 。
    2010-02-20 14:48:04
  • 直接打电话问研招办或者学院。他们很热情。
    2010-02-24 10:25:17
  • 函数可导与函数的导函数连续是两回事,这个基本概念必须确立。 下面例子应该可以说明这个问题：
    2010-02-20 00:59:06
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