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几何极值问题已知等腰直角三角形ABC的斜边BC长为2，P为三角形

2013-01-21 16:37:242***
已知等腰直角三角形ABC的斜边BC长为2，P为三角形ABC中的一点.试证明：1/PA+1/PA+1/PC≥3.几何极值问题已知等腰直角三角形ABC的斜边BC长为2，P为三角形ABC中的一点.试证明：1/PA+1/PA+1/PC≥3.：这个题一般不认为有初等解法。通常有三?

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  • 这个题一般不认为有初等解法。通常有三种方法。 1。方向导数的办法。比如此题，设直边长为1，分别按(0,0),(1,0),(1/2,1/2)三点作极座标展开，不难用对cos,sin的放缩，而证得沿径向目标函数在适当范围内递降或递增。结合对称性，三个分区足以盖住所有点，这样就可得到最小值在（1/2,1/2)取得。这方法也适合前面那道题目。注意比如(1/2,0)会是一个鞍点，但不会影响方向导数的利用和最值的判定，具体你可以在Mathematica上试一下。 2。显然上面这个方法的实质就是数值计算的速降法。此题用速降法显然能获解，但如果一般而言，数值方法存在稳定性和漏解的危险。 3。代数方法。本题在Mathematica上不难化归为一个二元多项式方程组而较快获解。对一般的根式代数系统，也原则上可以获解。当然，对极复杂的根式系统，仍然有稳定性和计算效率方面的问题，仍然是研究领域。
    2013-01-30 22:54:21
  • 是的，当P点在斜边中点时，1/PA+1/PB+1/PC=3 其余待证
    2013-01-22 10:56:49
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