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高二数学已知椭圆(x=4*cosβ,y=5*sinβ)上两个相临

2008-06-16 22:18:04裥***
已知椭圆(x=4*cosβ,y=5*sinβ)上两个相临顶点为A,C又B、D分别在直线AB的两旁,求四边型ABCD面积的最大值.高二数学已知椭圆(x=4*cosβ,y=5*sinβ)上两个相临顶点为A,C又B、D分别在直线AB的两旁,求四边型ABCD面积的最大值.：不妨设点A、C分别为椭?

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  •   不妨设点A、C分别为椭圆(x=4*cosβ,y=5*sinβ)与x、y轴正方向的交点，则： A(4,0),C(0,5) 那么过A、C的直线方程为5x+4y-20=0，且AC=√(4^+5^)=√41 又因为B、D在椭圆上，设B(4cosα,5sinα),C(4cosβ,5sinβ)。
      则B、C到直线AC的距离分别为： D1=|20cosα+20sinα-20|/√41 D2=|20cosβ+20sinβ-20|/√41 所以，四边形ABCD的面积S=(AC*D1/2)+(AC*D2)/2 =AC*(D1+D2)/2=10(|cosα+sinα-1|+|cosβ+sinβ-1|) =10*{|√2sin(α+π/4)-1|+|√2sin(β+π/4)-1|} 因为B、D分别位于AC的两侧，所以α∈(0,π/2),β∈(π/2,2π)。
      则： ≤10*[(√2-1)+(√2+1)] =20√2 所以，四边形ABCD面积有最大值20√2。
    2008-06-17 01:15:48
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