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已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R都有f(x+y?

2006-10-20 20:50:17拼***
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)若x>0时,有f(x)<0,求证:f(x)在R上是减函数已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)若x0时,有f(x)0,求证:f(x)在R上是减函数：函数?

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  • 函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y) 令：x=y=0代入可得：f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0 令y=-x代入可得：f(x-x)=f(x)+f(-x), 即f(0)=f(x)+f(-x), 从而 f(x)+f(-x)=0 所以：f(-x)=-f(x) 设任意实数x1,x2,且x1＜x2 则有：f(x2)-f(x1)=f(x2)+[-f(x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1) 由已知条件，x＞0时,有f(x)＜0； 现在x2-x1＞0，所以得到f(x2-x1)＜0, 即f(x2)-f(x1)＜0，由于x1＜x2，且都是实数。 f(x)在R上是减函数。
    2006-10-20 21:31:28
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