直线与曲线关系若抛物线y=ax方-1(a>0)上总存在不同
2007-12-25 13:18:50a***
若抛物线y=ax方-1(a>0)上总存在不同的两点关于y+x=0对称 求a的取值范围直线与曲线关系若抛物线y=ax方-1(a0)上总存在不同的两点关于y+x=0对称求a的取值范围：提供两种方法：
方法1:设对称点为A(x1,y1)B(?
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提供两种方法：
方法1:设对称点为A(x1,y1)B(x2,y2),所以
y1=ax1²-1……
y2=ax2²-1……
联立得:(y1-y2)/(x1-x2)=a(x1+x2)……
又因为A(x1,y1)、B(x2,y2)关于x+y=0对称,所以AB的斜率为x+y=0的斜率的负倒数
即(y1-y2)/(x1-x2)=1……
且AB中点在x+y=0上,即(x1+x2)/2+(y1+y2)/2=0……
由得:y1-y2+x2-x1=0……
由得:x1+x2+y1+y2=0……
+得:2y1+2x2=0,即y1=-x2……
将代入得:a(x1+x2)=1,所以-x2=x1-1/a……
由得:y1=x1-1/a……
联立得:x1-1/a=ax1²-1,即a²x1²-ax1-a+1=0,
此方程必有实数根,所以判别式△≥0,即a²+4a²(a-1)≥0
所以a≥3/4
方法2:若存在A、B两点关于直线 y=-x 对称,则可以设A、B两点所在直线为y=x+m
代入抛物线y=ax²-1得：ax²-x-(m+1)=0
由题意,此方程有解,则有：1+4a(m+1)≥0 ……(1)
且易得 A、B两点的中点为(1/2a,1/2a+m),此点代入直线 y=-x 适合,则可以得到：m=-1/a；
把m=-1/a,代(1)式,即有：1+4a(-1/a+1)≥0,所以:a≥3/4。
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2007-12-25 14:11:29
提供两种方法：
方法1:设对称点为A(x1,y1)B(x2,y2),所以
y1=ax1²-1……
y2=ax2²-1……
联立得:(y1-y2)/(x1-x2)=a(x1+x2)……
又因为A(x1,y1)、B(x2,y2)关于x+y=0对称,所以AB的斜率为x+y=0的斜率的负倒数
即(y1-y2)/(x1-x2)=1……
且AB中点在x+y=0上,即(x1+x2)/2+(y1+y2)/2=0……
由得:y1-y2+x2-x1=0……
由得:x1+x2+y1+y2=0……
+得:2y1+2x2=0,即y1=-x2……
将代入得:a(x1+x2)=1,所以-x2=x1-1/a……
由得:y1=x1-1/a……
联立得:x1-1/a=ax1²-1,即a²x1²-ax1-a+1=0,
此方程必有实数根,所以判别式△≥0,即a²+4a²(a-1)≥0
所以a≥3/4
方法2:若存在A、B两点关于直线 y=-x 对称,则可以设A、B两点所在直线为y=x+m
代入抛物线y=ax²-1得：ax²-x-(m+1)=0
由题意,此方程有解,则有：1+4a(m+1)≥0 ……(1)
且易得 A、B两点的中点为(1/2a,1/2a+m),此点代入直线 y=-x 适合,则可以得到：m=-1/a；
把m=-1/a,代(1)式,即有：1+4a(-1/a+1)≥0,所以:a≥3/4。
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2007-12-25 19:18:08
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