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两道高二数学题1.已知P是椭圆(x²/4)+(y&su

2010-02-22 15:46:27橘***
1.已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，则向量PF1与向量PF2的乘积为多少？ 2.设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（√3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，│BF│=2，则△BCF与△ACF的面积之比为多少？两道高二数学题1.已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，则向量?

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  •   1。已知P是椭圆(x²/4)+(y²/3)=1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，则向量PF1与向量PF2的乘积为多少？ 如左图 椭圆x^2/4+y^2/3=1中，a^2=4，b^2=3 所以，c^2=a^2-b^2=4-3=1 所以，a=2，c=1 则两焦点F1、F2之间的距离|F1F2|=2c=2 已知点P为椭圆上一点，那么点P到两焦点的距离之和|PF1|+|PF2|=2a=4 设，|PF1|=m，|PF2|=n 则，m+n=4………………………………………………………（1） 那么，△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=m+n+2c=4+2=6 已知△PF1F2的内切圆半径为1/2 所以，△PF1F2的面积S=(1/2)*6*(1/2)=3/2 设∠F1PF2=α 则，由正弦定理有△PF1F2的面积S=(1/2)*|PF1|*|PF2|*sinα =(1/2)mnsinα 所以，(1/2)mnsinα=3/2 所以，mnsinα=3………………………………………………（2） 又，由余弦定理有：|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2*|PF1|*|PF2|*cosα 即，(2c)^2=m^2+n^2-2mncosα ===> 4=m^2+n^2-2mncosα ===> 4=(m+n)^2-2mn-2mncosα ===> 4=16-2mn-2mncosα ===> mn(1+cosα)=6……………………………………………（3） 联立(2)(3)得到：2sinα=1+cosα 所以，cosα=2sinα-1 而，sin^2 α+cos^2 α=1 所以，sin^2 α+(2sinα-1)^2=1 ===> sin^2 α+4sin^2 α-4sinα+1=1 ===> 5sin^2 α-4sinα=0 ===> sinα=4/5 所以，cosα=3/5 已知mnsinα=3 所以，mn=3/sinα=3/(4/5)=15/4 所以，mncosα=(15/4)*(3/5)=9/4 即，向量|PF1|、|PF2|的乘积为9/4 2。
      设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（√3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，│BF│=2，则△BCF与△ACF的面积之比为多少？ 如右图 分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足为D、E △BCF和△ACF是两个等高【均为点F到直线AB的距离】的三角形，所以它们的面积之比为底边长之比 即，S△BCF/S△ACF=CB/CA 而，BE⊥l，AD⊥l 所以，BE//AD 所以，CB/CA=BE/AD 而根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，得到：BE=BF=2 所以，CB/CA=2/AD 设点A(x1,y1)、B(x2,y2) 那么，AD=x1+(1/2)，BE=x2+(1/2)=2 所以，CB/CA=BE/AD=[x2+(1/2)]/[x1+(1/2)] 亦即，CA/CB=[x1+(1/2)]/[x2+(1/2)] 所以，(CA/CB)+1=[x1+(1/2)]/[x2+(1/2)]+1 =[x1+(1/2)+x2+(1/2)]/[x2+(1/2)] =(x1+x2+1)/[x2+(1/2)] =(x1+x2+1)/2 所以，CA/CB=[(x1+x2+1)/2]-1 =(x1+x2)/2-(1/2)……………………………………………（1） 且，点B的横坐标为Xb=2-(1/2)=3/2 点B在抛物线y^2=2x上，所以：y^2=2*(3/2)=3 所以，y=-√3【不妨设为负值】 即，点B(3/2,-√3) 已知点M(√3,0) 那么，直线A(M)B的斜率k=√3/[√3-(3/2)]=2√3/(2√3-3) 所以，1/k^2=(2√3-3)^2/12=(12+9-12√3)/12=(21-12√3)/12 设AB所在直线方程为y=k(x-√3) 那么，联立直线与抛物线方程得到：[k(x-√3)]^2=2x ===> k^2(x^2-2√3x+3)=2x ===> k^2x^2-2(√3k^2+1)x+3k^2=0 所以，x1+x2=2(√3k^2+1)/k^2 所以，(x1+x2)/2=(√3k^2+1)/k^2=√3+(1/k^2) =√3+[(21-12√3)/12]=√3+[(7/4)-√3] =7/4 代入(1)得到：CA/CB=(x1+x2)/2-(1/2)=(7/4)-(1/2)=5/4 即，S△BCF/S△ACF=4/5。
      
    2010-02-23 02:16:18
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