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初中数学竞赛几何难题（圆与三角形五心）已知四边形ABCD中AB=

2010-05-23 15:19:33t***
已知四边形ABCD中AB=AC=BD且AC垂直于BD，垂足为O。I为三角形ABO内心。 M为AB中点。求证：MI垂直于CD且MI=1/2CD. 要添线方法，大致证明过程即可 初中数学竞赛几何难题（圆与三角形五心）已知四边形ABCD中AB=AC=BD且AC垂直于BD，垂足为O。I为三角形ABO内心。M为AB中点。求证：MI垂直于CD且?

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  • 设△ABE的内切圆切AB于N,切BE于P,切EA于Q. ∵AC⊥BD于E, ∴设AN=AQ=x,BN=BP=y,EP=EQ=IN=r. 由AE^2+BE^2=AB^2，得 (x+r)^2+(y+r)^2=(x+y)^2, ∴r(x+y)=xy-r^2. 而MN=|AM-AN|=|(x+y)/2-x|=|y-x|/2，IN⊥AB, ∴IM^2=IN^2+MN^2=r^2+(y-x)^2/4. ∵AB=BD=AC， ∴CE=y-r,DE=x-r, ∴CD^2=CE^2+DE^2=(y-r)^2+(x-r)^2 =x^2+y^2-2r(x+y)+2r^2 =x^2+y^2-2xy+4r^2 =(x-y)^2+4r^2 =4IM^2, ∴IM=CD/2.
    2010-05-23 15:44:02
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