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兄弟们再帮个忙,数学高手留意下已知函数f（x）满足f(a*b)=

2008-12-01 18:27:41f***
已知函数f（x）满足f(a*b)=af(b)+bf(a)，且|f（x）|≤1，求证f（x）恒为零 （可用结论lim（x→∞）g（x）=0，且|f（x）|≤M，M为常数，则lim（x→∞）[f（x）*g（x）]=0） 兄弟们再帮个忙,数学高手留意下已知函数f（x）满足f(a*b)=af(b)+bf(a)，且|f（x）|≤1，求证f（x）恒为零（可用结论lim（x→∞）g（x）?

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  •   反证法。 假设存在x有|f(x)|>0， 那么f(x^2)=2xf(x),f(x^3)=3x^2f(x)。 猜想f(x^n)=nx^(n-1)f(x)。 用数学归纳法。f(x^(n+1))=xf(x^n)+x^nf(x)=(n+1)x^nf(x)。
       猜想正确。 当|x|=1时，n为偶数时由上式可得f(x)=0，与假设不符。 当|x|>1时，在n无限大时，有nx^(n-1)无限大。那么|f(x^n)|=nx^(n-1)也将趋于无限大，不符合函数值绝对值小于等于1的题设条件，矛盾。 当|x|<1时，0=f(1)=f(x*1/x)=f(x)/x+xf(1/x),f(x)=-x^2f(1/x)，f(x^n)=(n+1)x^n*(-x^2f(1/x))=-(n+1)x^(n+2)f(1/x)。
      由于f(x)非0，所以f(1/x)非零。当n无限大时，由上式得|f(x^n)|无限大，与题设条件不符。 因此不存在x使f(x)不等于0。
    2008-12-04 10:59:58
  • 1. 用数学归纳法易得:f(x^n)=nx^(n-1)f(x)。 2. 当|x|>1时, 0≤|f(x)|=|f(x^n)/[nx^(n-1)]|≤1/n ==> 0≤|f(x)|≤Lim{n→∞}[1/n]=0 ==> f(x)=0 3. f(1)=f(1*1)=1*f(1)+1*f(1) ==> f(1)=0 ==> 0=f((-1)*(-1))=(-1)*f(-1)+(-1)*f(-1)=2f(-1) ==> f(-1)=0 4. 当0 0=f(1)=f(x*(1/x))=xf((1/x))+(1/x)f(x)= =(1/x)f(x) ==> f(x)=0 5. f(0)=f(0*0)=0*f(0)+0*f(0)=0 ==>f（x）恒为零.
    2008-12-04 12:45:46
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