百科知识

教育/科学

设α、β、γ为一个给定三角形的三个内角,求证:csc(α/2)

2011-02-28 12:56:149***
求证:[csc(α/2)]^2+[csc(β/2)]^2+[csc(γ/2)]^2≥12.设α、β、γ为一个给定三角形的三个内角,求证:[csc(α/2)]^2+[csc(β/2)]^2+[csc(γ/2)]^2≥12.：证明: 由均值不等式,得 ?

最佳回答

  • 证明: 由均值不等式,得 [csc(α/2)]^2+[csc(β/2)]^2+[csc(γ/2)]^2≥3[csc(α/2)csc(β/2)csc(γ/2)]^(2/3), 当α=β=γ时,等号成立. 再由均值不等式及凸函数性质,得 [sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2)]^(1/3) ≤[sin(α/2)+sin(β/2)+sin(γ/2)]/3 ≤sin[(α/2+β/2+γ/2)/3] =sin(π/6) =1/2 ∴[csc(α/2)]^2+[csc(β/2)]^2+[csc(γ/2)]^2 ≥3[sin(α)sin(β)sin(γ)]^(-2/3) ≥3(1/2)^(-2) =12. 故命题得证. 当且仅当α=β=γ时,等号成立.
    2011-02-28 21:49:15
  • 当α=β=γ时等号成立
    2011-02-28 13:50:43
    • 很赞哦！ (170)

    相关文章