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利用三角函数线证明1＜sina+cosa≤√2其中a是锐角

2012-11-20 13:13:082***
利用三角函数线证明 1＜sina+cosa≤√2 其中a是锐角利用三角函数线证明1＜sina+cosa≤√2其中a是锐角：我可以，明天证。 当然，我希望有网友先证明（指完全用三角函数线证明）。 ------------?

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  • 我可以，明天证。 当然，我希望有网友先证明（指完全用三角函数线证明）。 -------------------- 兑现承诺，证明如下： 如图，a,b互为余角，直角三角形OAB中，OA=OB=1，AB=√2， OP⊥AP，OQ⊥BQ， sina+cosa=AP+OP>OA=1； sina+cosa=sina+sinb=AP+BQ≤AB=√2 当且仅当a=b=45度时等号成立。 所以，a为锐角时，12012-11-20 16:28:50
  • 设角a与单位圆交于点P(cosa,sina),作PM⊥x轴于M,则 M(cosa,0), ∵a是锐角， ∴P在第一象限， sina=MP>0,cosa=OM>0, sina+cosa=OM+MP>OP=1, 另一个不等式难以用三角函数线证明，改为 （sina+cosa)^=1+2sinacosa=1+sin2a<=2, ∴sina+cosa<=√2.
    2012-11-20 14:31:43
  • 【证明】sina+cosa=√2sin（a+π/4） 因为a是锐角,即0＜a＜π/2，所以π/4＜a+π/4＜3π/4 结合正弦函数图象，显然√2/2＜sin（a+π/4）≤1 因此1＜√2sin（a+π/4）≤√2 即有1＜sina+cosa≤√2 成立。
    2012-11-20 14:30:53
  • sina+cosa=√2(√2/2sina+√2/2cosa) =√2[cos（π/4)sina+sin(π/4)cosa] =√2[sin(a+π/4)]， ∵0＜a＜π/2，∴π/4＜a+π/4＜3π/4， 根据正弦函数的图象可知√2/2＜sin(a+π/4)]≤1， ∴1＜√2[sin(a+π/4)]≤√2， 即1＜sina+cosa≤√2。
    2012-11-20 14:13:58
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