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数学习题已知a,b是锐角，a+b不等于pi/2且满足3sinb=

2007-08-30 20:59:17蜡***
已知a,b是锐角，a+b不等于pi/2且满足3sinb=sin(2a+b) (1)求证：tan(a+b)=2tana (2)求证：tanb<=根号2/4,并求等号成立时tana,tanb的值.数学习题已知a,b是锐角，a+b不等于pi/2且满足3sinb=sin(2a+b)(1)求证：tan(a+b)=2tana(2)求证：tanb=根号2/?

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  • 1)因为3sinb=sin(2a+b), 所以3sin[(a+b)-a]=sin[a+(a+b)],即 3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sinacos(a+b)+cosasin(a+b). =sinacos(a+b)+cosasin(a+b).所以sin(a+b)cosa 所以tan(a+b)=2tana 2)因为tanb=tan[(a+b)-a]=[tan(a+b)-tana]/[1+tan(a+b)tana]=tana/(1+2tan²a) =1/(1/tana+2tana),又因为a,b为锐角,所以tana>0.所以 tanb=1/(1/tana+2tana) ≤1/2√2=√2/4. 当且仅当1/tana=2tana,即tana=√2/2时取等号,此时tanb=√2/4.
    2007-08-30 21:11:50
  • 3sin(a+b-a)=sin(a+b+a) 3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina 2sin(a+b)cosa-4cos(a+b)sina=0 sin(a+b)cosA-2cos(a+b)sina=0 a+b不等于pi/2,两边都除以cos(A+B)cosA tan(a+b)-2tana=0 tan(a+b)=2tana (tana +tanb)/(1-tanatanb) =2tana 2tana -2tan^atanb=tana +tanb 2tan^atanb-tana-tanb=0 关于tana的方程判别式大于等于0====>tanb<=根号2/4 tanb=根号2/4时 tana=(根号2)/2
    2007-08-30 21:14:30
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