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已知函数).若曲线在处的切线的方程为,求实数的值;求证:恒成立的?

2018-07-06 02:37:06我***
已知函数).
若曲线在处的切线的方程为,求实数的值;
求证:恒成立的充要条件是;
若,且对任意,,都有,求实数的取值范围.已知函数).若曲线在处的切线的方程为,求实数的值;求证:恒成立的充要条件是;若,...已知函数).若曲线在处的切线的方程为,求实数的值;求证?

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  •   根据导数的几何意义求出函数在处的导数,从而求出切线的斜率,建立等式关系即可求出的值;
    先证充分性,当时,利用导数研究函数的最小值即可,然后证明必要性,讨论的符号使恒成立,求出的值即可;
    设,则等价于函数在区间上是减函数即使在上恒成立,然后利用分离法将分离出来,从而求出的范围。
      
    解:,
    曲线在处的切线的斜率为
    曲线在处的切线的方程为,
    ,解得
    充分性
    当时,,
    当时,,所以函数在上是增函数,
    当时,,所以函数在上是减函数,
    必要性
    ,其中
    当时,恒成立,所以函数在上是增函数
    而,所以当时,,与恒成立相矛盾
    不满足题意。
      
    当时,时,,所以函数在上是增函数;
    时,,所以函数在上是减函数;
    ,所以当时,,此时与恒成立相矛盾
    综上所述,恒成立的充要条件是;
    由可知,
    当时,函数在上是增函数,又函数在上是减函数
    不妨设
    则,
    即
    设,
    则等价于函数在区间上是减函数
    因为,所以在上恒成立,
    即在上恒成立,即不小于在内的最大值。
      
    而函数在是增函数,所以的最大值为
    所以,又,所以。
      
    本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及充要条件的证明和恒成立问题的应用,同时考查了计算能力,转化与划归的思想,属于中档题。
    2018-07-06 04:30:58
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