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已知曲线C上任意一点A(1,0)已知曲线C上任意一点A(1，0)

2010-01-10 19:31:09V***
已知曲线C上任意一点A(1，0)与直线x=4的距之和等于5。(一)求曲线C的方程。(二)过点A作斜率为k的直线交曲线C于M,N两点，当k的绝对值大于等于四分之三时，求MN的最大值已知曲线C上任意一点A(1,0)已知曲线C上任意一点A(1，0)与直线x=4的距之和等于5。(一)求曲线C的方程。(二)过点A作斜率为k的直线交曲线C于M,N两?

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  •   已知曲线C上任意一点【到】A(1，0)与直线x=4的距之和等于5。(一)求曲线C的方程。 设曲线C上任意一点坐标P(x,y) 那么，它到点A(1,0)的距离是d=√[(x-1)^2+y^2] 它到直线x=4的距离为|x-4| 所以：√[(x-1)^2+y^2]+|x-4|=5 当x≥4时就有：√[(x-1)^2+y^2]=5-|x-4|=5-(x-4)=9-x 化简后就有：y^2=-16x+80（x≤5） 当x＜4时就有：√[(x-1)^2+y^2]=5-|x-4|=5+(x-4)=x+1 化简后就有：y^2=4x（x≥0） 综上：曲线C的轨迹方程为： ……{-16x+80（4≤x≤5） y^2={ ……{4x（0≤x＜4） (二)过点A作斜率为k的直线交曲线C于M,N两点，当k的绝对值大于等于四分之三时，求MN的最大值 由上面方程知，曲线C与直线x=4的交点分别为B(4,4)和C(4,-4) 点A(1,0) 所以，AB之间连线的斜率为k=(4-0)/(4-1)=4/3 所以，考虑到其对称性，现在只分析当k≥3/4时的情况【当k≤-3/4时是一样的】 ①当过点A(1,0)且斜率k≥4/3时，直线与曲线C的交点M、N均位于曲线C的左半边上 左半部分的方程为：y^2=4x（0≤x＜4） 那么，它的焦点为F(1,0)正好就是点A 所以，作其准线L:x=-1 过点M、N分别作准线的垂线，垂足为P、Q【蓝色部分】 则，由抛物线的定义有：MN=MA+NA=MP+NQ……………………（1） 设直线方程为：y=k(x-1) 联立y^2=4x 所以：[k(x-1)]^2=4x 即：k^2x^2-2(k^2+2)x+k^2=0 所以，x1+x2=2(k^2+2)/k^2……………………………………（2） 而，MP=x1+1、NQ=x2+1 所以，MP+NQ=(x1+x2)+2………………………………………（3） 联立(1)(2)(3)得到：MN=[2(k^2+2)/k^2]+2 =4+(4/k^2) 所以，当k取最小值=4/3时，MN有最大值=4+[4/(4/3)^2]=25/4 ②当过点A(1,0)且斜率k满足3/4≤k＜4/3时 直线与曲线C的交点就分别位于左右两半上 假设点M在右半，N在左半 右半的方程为：y^2=-16x+80（4≤x≤5） 所以，点A(1,0)亦为其焦点，其准线为L2:x=9 同上，分别过点M、N作其准线的垂线，垂足还是P、Q【红色部分】 则，MN=MA+NA=MP+NQ=(9-Xm)+(Xn+1)=10-(Xm-Xn)【式中Xm、Xn分别为M、N点的横坐标】………………………………………（4） 设直线方程为y=k(x-1) 则，分别联立直线与C左右两边的方程得到： y=k(x-1) y^2=-16x+80 y^2=4x 得到：[k(x-1)]^2=-16x+80 即：k^2x^2-2(k^2-8)x+(k^2-80)=0 所以，点M的横坐标为Xm=[2(k^2-8)+√4(k^2-8)^2-4k^2(k^2-80)]/(2k^2)【之所以根号前面取正号，是因为直线与抛物线有两个交点，但是这里的点M相交于另外一个点来说它的横坐标大些】 =[(k^2-8)+8√(k^2+1)]/(k^2) 同理，联立y=k(x-1)和y^2=4x得到：k^2(x-1)^2=4x 所以：k^2x^2-2(k^2+2)x+k^2=0………………………………（5） 所以，点N的横坐标为Xn=[2(k^2+2)-√4(k^2+2)^2-4k^4]/(2k^2) 【同前面的道理一样，直线与这部分的交点N相交于直线与其相交的另外一个点来说，其横坐标要小些。
      所以根号前取负号】 =[(k^2+2)-2√(k^2+1)]/(k^2)……………………………（6） 将(5)(6)代入(4)就得到： MN=10-(Xm-Xn) =10-{[(k^2-8)+8√(k^2+1)]/(k^2)-[(k^2+2)-2√(k^2+1)]/(k^2)]} =10-[10√(k^2+1)-10]/k^2 =10-10*[√(k^2+1)-1]/k^2 =10-10*[√(k^2+1)-1]*[√(k^2+1)+1]/[√(k^2+1)+1]*k^2 =10-10/[√(k^2+1)+1] =10*[1-1/√(k^2+1)+1] 那么，当k取得最大值k=4/3时就有最大值=10*{1-[1/√(4/3)^2+1]+1}=25/4 综上，当过点A(1,0)且斜率的绝对值大于3/4的直线与曲线C的两个交点MN线段的最大值为25/4。
      
    2010-01-10 21:55:15
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