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一数列问题设a1=1,a2=5/3,an+2=5/3an+1-2

2006-04-19 20:31:06s***
设a1=1,a2=5/3,an+2=5/3 an+1 -2/3 an (n=1.2.3…)求数列{an}的通项一数列问题设a1=1,a2=5/3,an+2=5/3an+1-2/3an(n=1.2.3…)求数列{an}的通项：设a1=1,a2=5/3,an+2=5/3 a?

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  •   设a1=1,a2=5/3,an+2=5/3 an+1 -2/3 an (n=1。2。3…)求数列{an}的通项 由an+2=5/3 an+1 -2/3 an 得： an+2－an+1＝(2/3)*(an+1－an) 所以数列{an+1－an}是以(a2－a1)为首项，以(2/3)为公比的等比数列 所以an+1－an＝(2/3)^n 　　注：^n表示n次方 所以an－an-1＝(2/3)^(n-1) 　　。
      。。 　　a3－a2＝(2/3)^2 　　a2－a1＝2/3 相加得：an+1－a1＝(2/3)＋(2/3)^2＋(2/3)^3＋。。。＋(2/3)^n 所以an+1＝1＋(2/3)＋(2/3)^2＋(2/3)^3＋。。。＋(2/3)^n 所以an＝1＋(2/3)＋(2/3)^2＋(2/3)^3＋。
      。。＋(2/3)^(n-1) 　　　＝3*[1－(2/3)^n] 。
    2006-04-19 21:07:27
  •   ∵an+2=5/3 an+1 -2/3 an ∴a(n+2)-a(n+1)=2/3[a(n+1)-an] 。 。① 设数列,bn=a(n+1)-an, 则b1=a2-a1=1 由①得b(n+1)=2/3bn 所以数列bn=(2/3)^n ∴b(n-1)=an-a(n-1), b(n-2)=a(n-1)-a(n-2), b(n-3)=a(n-2)-a(n-3), ………………………… b3=a4-a3， b2=a3-a2， b1=a2-a1。
       以上各式相加，得 b1+b2+b3+……b（n-2）+b（n-1）=an-a1， 又b1+b2+b3+……b（n-2）+b（n-1） =1×[1-（2/3）^(n-1)]/(1-2/3) =3[1-(2/3)^(n-1)] ∴3[1-(2/3)^(n-1)]=an-1 所以an=3[1-(2/3)^(n-1)]+1 经检验a1=1,也满足数列通项公式。
       所以列{an}的通项 为an=3[1-(2/3)^(n-1)]+1 由于不便于打幂,所以没有合并,请见谅。
    2006-04-19 21:18:34
  • 设a1=1,a2=5/3,an+2=5/3 an+1 -2/3 an (n=1.2.3…)求数列{an}的通项 由an+2=5/3 an+1 -2/3 an 可得An+2-An+1=2/3(An+1-An) 令Bn=An+1-An(n=1，2,3,…）,则Bn是首项为2/3，公比为2/3的等比数列，所以Bn=(2/3)^n An-An-1=(2/3)^(n-1) (An-1)-(An-2)=(2/3)^(n-2) …… A3-A2=(2/3)^2 A2-A1=(2/3) 以上式子相加得An-A1=(2/3)^(n-1)+(2/3)^(n-2)+…+(2/3) =2[1-(2/3)^(n-1)] 所以An=1+2[1-(2/3)^(n-1)] =3-2(2/3)^(n-1)
    2006-04-19 21:12:33
  • a(n+2)=5/3*a(n+1)-2/3*an ? ? ? --->a(n+2)-a(n+1)=2/3*[a(n+1)-an] --->[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=2/3 所以数列{an-a(n-1)}是一个等比数列，其公比是2/3,首项是a2-a1=5/3-1=2/3.因此an-a(n-1)=2/3*(2/3)^(n-2)=(2/3)^(n-1). --->a(n-1)-a(n-2)=(2/3)^(n-2) a(n-2)-a(n-3)=(2/3)^(2/3) ............... a2-a1=2/3. 把这n-1个等式的两边分别相加得到 an-a1=2/3+(2/3)^3)+(2/3)+......+(2/3)^(n-1) --->an-1=[2/3-(2/3)^n]/(1-2/3) --->an=3[1-(2/3)^n]
    2006-04-19 21:11:41
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