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证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系RT

2009-10-17 10:47:47j***
RT证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系RT：证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系. 证明 设n元齐次线性方程组Ax=0,其中?

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  •   证明:齐次线性方程的基础解系标准正交化后仍是基础解系。 证明 设n元齐次线性方程组Ax=0,其中R(A)=r,则基础解系所含的向量的个数为n-r，记α1,α2,…,α(n-1)是一个基础解系，并记这个基础解系标准正交化后所得的向量组为：ε1,ε2,…,ε(n-r)。
       下面证明：向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。 事实上，由施密特正交化过程可知：向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)可由向量组α1,α2,…,α(n-1)线性表示，而α1,α2,…,α(n-1)是基础解系的基解向量，所以作为向量组α1,α2,…,α(n-1)线性组合的向量ε1,ε2,…,ε(n-r)都是齐次线性方程组Ax=0的解，因此ε1,ε2,…,ε(n-r)是齐次线性方程组Ax=0的解空间S中的向量。
       又因为ε1,ε2,…,ε(n-r)正交向量组，所以ε1,ε2,…,ε(n-r)必定线性无关。由于α1,α2,…,α(n-1)是基础解系，所以齐次线性方程组Ax=0的解空间S的维数dimS=n-r。故知向量组ε1,ε2,…,ε(n-r) 是解空间S的一个极大线性无关组。
       因此，向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
    2009-10-18 15:10:25
  • 呵呵，高等代数里面有的呀，这里面写很麻烦吧
    2009-10-17 10:49:52
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