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直线x+y=1交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两?

2011-04-04 22:05:169***
直线x+y=1交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两点,C是线段AB的中点,若|AB|=2根2,直线OC的斜率k=1/根2,求椭圆的方程.直线x+y=1交椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1于A、B两点,C是线段AB的中点,若|AB|=2根2,直线OC的斜率k=1/根2,求椭圆的方程.：记1/a?

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  •   记1/a^2=α,1/b^2=β, 将直线代入椭圆整理得 (α+β)x^2-2βx+(β-1)=0 设点A、B坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2), 则依韦达定理得 x1+x2=2β/(α+β), x1x2=(β-1)/(α+β)。
       所以, |AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 =2(x1-x2)^2 =2[(x1+x2)^2-4x1x2] =8(α+β-αβ)/(α+β)^2 由|AB|=2根2,得 (α+β-αβ)/(α+β)^2=1, 即α^2+2αβ+β^2-α-β=0 …… (1) 设点C(x0,y0),则 x0=(x1+x2)/2=β/(α+β), y0=1-x0=α/(α+β), 由k=1/(根2),得x0/y0=根2, 所以,β=(根2)α …… (2) 由(1)、(2)式得,α=1/3,β=(根2)/3, 所以,所求椭圆为: x^2/3+(根2)y^2/3=1。
       。
    2011-04-04 22:59:53
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