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高中数学，高手进椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a&gt

2011-05-14 22:16:27鞋***
椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F（1,0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形。 （1）求椭圆标准方程 （2）已知Q（x0,y0)为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程。 （3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA,PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标。 请高手指教2,3问，要详细过程高中数学，高手进椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)的一个焦点是F（1,0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形。（1?

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  •   椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F（1,0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形。 （1）求椭圆标准方程 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的焦点为F(1,0) 则，c=1 所以，a^2-b^2=c^2=1………………………………………………（1） 设短轴的两个三等分点为M、N，则MN=2b/3 所以，由正三角形的对称性知，OM=ON=b/3 所以，在Rt△MOF中，∠MFO=30° 则，tan30°=MO/OF=(b/3)/c=√3/3 所以，b=√3c…………………………………………………………（2） 联立(1)(2)得到：a^2=4，b^2=3 所以，椭圆方程为：(x^2/4)+(y^2/3)=1 （2）已知Q（x0,y0)为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程。
       为不失一般性，设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a，b＞0） ===> b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0 ===> 2b^2x+2a^2y*y'=0【方程两边对x求导】 ===> a^2y*y'=-b^2x ===> y'=(-b^2/a^2)*(x/y) 则，过点Q(xo,yo)切线斜率为k=y'(xo,yo)=(-b^2/a^2)*(xo/yo) 那么过点Q的切线为：y-yo=k*(x-xo) ===> y-yo=(-b^2/a^2)*(xo/yo)*(x-xo) ===> a^2yo*y-a^2yo^2=-b^2xo*x+b^2xo^2 ===> a^2yo*y+b^2xo*x=a^2yo^2+b^2xo^2 因为点Q(xo,yo)在椭圆上，所以：b^2xo^2+a^2yo^2=a^2b^2 所以：a^2yo*y+b^2xo*x=a^2b^2 ===> (xo*x/a^2)+(yo*y/b^2)=1 【—这就是椭圆上任意一点Q(xo,yo)处切线的统一形式。
      —】 由(1)知，a^2=4，b^2=3 所以，过点Q的切线方程为：(xo*x/4)+(yo*y/3)=1 （3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA,PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标。
       点A、B在椭圆上，不妨设点A(x1,y1)、B(x2,y2) 那么由(2)中得出的结论得到： 切线PA为：(x1*x/4)+(y1*y/3)=1 切线PB为：(x2*x/4)+(y2*y/3)=1 因为PA、PB交点P横坐标为4 所以： x1+(y1*y)/3=1 ===> y1*y=3*(x1-1) x2+(y2*y)/3=1 ===> y2*y=3*(x2-1) 两式相除得到：y1/y2=(x1-1)/(x2-1) 则，点A(x1,y1)和点B(x2,y2)都满足直线：y=k(x-1) 显然，它就经过点F(1,0)。
    2011-05-15 06:22:56
  •   (1)c=1,b=√3，椭圆标准方程为x^2/4+y^2/3=1。① (2)x0^2/4+y0^2/3=1,② 设切线方程为y=kx+y0-kx0,代入①，整理得 （3+4k^2）x^2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)^2-12=0, ∴△/4=16k^2*(y0-kx0)^2-(3+4k^2)[4(y0-kx0)^2-12] =-12(y0-kx0)^2+36+48k^2=0, -(y0-kx0)^2+3+4k^2=0, (4-x0^2)k^2+2x0y0k+3-y0^2=0, △k=(2x0y0)^2-4(4-x0^2)(3-y0^2) =-4(12-3x0^2-4y0^2)=0(由②)， ∴k=-x0y0/(4-x0^2)=-3x0/(4y0)(由②）。
       ∴切线方程为x0x/4+y0y/3=1。 (3)设切点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，则 x1^2/4+y1^2/3=1, x2^2/4+y2^2/3=1, 切线PA:x1x/4+y1y/3=1, PB:x2x/4+y2y/3=1。
       解得x=4(y2-y1)/(x1y2-x2y1)=4, y2-y1=x1y2-x2y1, y1/y2=(1-x1)/(1-x2), ∴A,B是直线y=k(1-x)与椭圆的交点, ∴AB过定点(1,0)。 。
    2011-05-15 07:34:06
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