如图已知点Q是三角形ABC三个内角平分线的交点如图,已知点Q是三
2010-03-06 21:30:08b***
如图,已知点Q是三角形ABC三个内角平分线的交点,P是三角形ABC的角P、角C的外角平分线的交点。求如图,在三角形ABC中,角C=90,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P求证:角BPM=45如图已知点Q是三角形ABC三个内角平分线的交点如图,已知点Q是三角形ABC三个内角平分线的交点,P是三角形ABC的角P、角C的外角平分线的交点。求如图,在三角形?
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设AC=BM=X,MC=AN=Y,则 BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y AM=√(AC^2+MC^2)=√(X^2+Y^2) 过N点作NE⊥AM,交AM于E点,则△AEN∽△ACB AE/AN=AC/AM,NE/AN=MC/AM AE=AN*AC/AM=Y*X/√(X^2+Y^2) NE=AN*MC/AM=Y^2/√(X^2+Y^2) 过P点作PF⊥BC,交BC于F点,则△PFM∽△ACM,△BPF∽△BNC PF/FM=AC/MC,PF=FM*AC/MC=FM*X/Y PF/BF=CN/BC,PF=BF*CN/BC=BF*(X-Y)/(X+Y) BF*(X-Y)/(X+Y)=FM*X/Y BF=(FM*X/Y)*[(X+Y)/(X-Y)]=FM*X*(X+Y)/[Y*(X-Y)] BF=BM+FM=X+FM FM*X*(X+Y)/[Y*(X-Y)]=X+FM FM=XY*(X-Y)/(X^2+Y^2) PM/FM=AM/CM PM=FM*AM/MC=[XY*(X-Y)/(X^2+Y^2)]*[√(X^2+Y^2)/Y] =X*(X-Y)/√(X^2+Y^2) PE=AM-AE-PM =√(X^2+Y^2)-Y*X/√(X^2+Y^2)-X*(X-Y)/√(X^2+Y^2) =Y^2/√(X^2+Y^2) =NE 因为NE⊥AM,即NE⊥PE 可知在直角△NEP中,NE=PE 故 ∠EPN=45° 但∠BPM=∠EPN 所以∠BPM=45° 证法二: 证:已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X,MC=AN=Y,则 BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y tan∠AMC=AC/MC=X/Y tan∠NBC=CN/BC=(X-Y)/(X+Y) ∠AMC=∠BPM+∠NBC ∠BPM=∠AMC-∠NBC tan∠BPM=tan(∠AMC-∠NBC) =(tan∠AMC-tan∠NBC)/(1+tan∠AMC*tan∠NBC) =[X/Y-(X-Y)/(X+Y)]/[1+(X/Y)*(X-Y)/(X+Y)] =[X*(X+Y)-Y*(X-Y)]/[Y*(X+Y)+X*(X-Y)] =(X ^2+Y ^2)/(X ^2+Y ^2) =1 因为∠BPM<180° 所以∠BPM=45° 。
2010-03-06 22:28:30
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