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高中数学已知数列{an}、{bn}满足bn=(a1+2a2+…+

2007-09-26 12:02:14开***
已知数列{an}、{bn}满足bn=(a1+2a2+…+nan)/(1+2+3+…+n)。 求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。高中数学已知数列{an}、{bn}满足bn=(a1+2a2+…+nan)/(1+2+3+…+n)。求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数?

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  •   解： bn=(a1+2a2+3a3+。。。。nan)/(1+2+……+n) =(a1+2a2+3a3+……+nan)/(n+n²)/2 (n+n²)bn=2(a1+2a2+3a3+……+nan)。。。。(1) [(n-1)+(n-1)²]b(n-1)=2[a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1）]。
      。。。
      (2) (1)-(2): (n+n²)bn-(n²-n)b(n-1)=2nan ∵{bn}是等差数列 d为公差 ∴bn=b(n-1)+d ∴b(n-1)=an-d(n+1)/2 b1=a2-3d/2 ∵b(n-1)=b1+(n-2)d ∴b(n-1)-b1=(n-2)d an-d(n+1)/2-a2+3d/2=(n-2)d an-a2=3d(n-2)/2 a(n+1)-a2=3d(n-1)/2 a(n+1)-an=3d/2 ∴数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。
    2007-09-26 12:11:36
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